Arrow-Debreu 模型
Arrow-Debreu model
假定
假定
假定
局所非飽和
凸性
Gemini
Arrow-Debreu 模型における均衡價格の存在定理は、經濟全體における需要と供給が一致する價格體系が少なくとも一つ存在することを保證する、數理經濟学の金字塔的な成果です。 1. モデルの設定（前提條件）
經濟主體は$ l種類の財が存在する市場において取引を行ふと假定します。
價格ベクトル:$ p \in \Delta = { p \in \mathbb{R}+^l \mid \sum{i=1}^l p_i = 1 }（標準化された價格單體）
消費者$ j \in {1, \dots, n}:
初期保有量:$ \omega_j \in \mathbb{R}_+^l
效用函數:$ u_j(x_j)（連續、强單調、嚴密凹）
利潤分配率:$ \theta_{jk} \ge 0（企業$ kの利潤に對する持ち分,$ \sum_j \theta_{jk} = 1）
企業$ k \in {1, \dots, m}:
生產集合:$ Y_k \subset \mathbb{R}^l（閉集合、凸集合$ 0 \in Y_kを含む） 2. 超過需要對應の定義
各主體の最適化行動から、市場全體の「超過需要對應（Excess Demand Correspondence）」$ Z(p)を導出します。
1. 企業の利潤最大化:
$ \pi_k(p) = \max_{y_k \in Y_k} p \cdot y_k
2. 消費者の需要函數:
$ d_j(p) = \arg \max { u_j(x_j) \mid p \cdot x_j \le p \cdot \omega_j + \sum_k \theta_{jk} \pi_k(p) }
3. 總超過需要對應:
$ Z(p) = \sum_j d_j(p) - \sum_k y_k(p) - \sum_j \omega_jここで、各$ p \in \Deltaに對して$ Z(p)は以下の性質を滿たします：
ワルラスの法則: 任意の$ p \in \Deltaと$ z \in Z(p)に對して、$ p \cdot z = 0。
上半連續性:$ Z(p)は空でなく、凸値かつ上半連續な對應である。
3. 均衡存在定理の記述
定理：アロー＝ドブリューの均衡存在
上述の假定（消費者の嗜好の凸性・連續性、企業の生產集合の凸性、および初期保有の正値性など）が滿たされるとき、以下の條件を滿たす均衡價格ベクトル$ p^* \in \Deltaが存在する。
$ Z(p^*) \cap { z \in \mathbb{R}^l \mid z \le 0 } \neq \phi
かつ、ワルラスの法則により、もし$ p_i^* > 0ならば、第$ i財の超過需要は$ z_i^* = 0となる。
數學的な證明のスケッチ
$ Sをcompact (位相)な凸部分集合とし、$ f: S \twoheadrightarrow Sが上半連續で、各點において非空かつ凸値をとる對應であれば、$ x^* \in f(x^*)となる不動點$ x^*が存在する。 價格調節プロセスを模した對應$ f(p, z)を定義し、價格單體$ \Deltaと超過需要の空閒の積集合において不動點を求めることで、需給が均衡する價格の存在が證明されます。
PLaMo
前提條件
1. 經濟の設定: 經濟には有限個の財（$ S = {1, 2, \dots, n}）と有限個の消費者（$ N = {1, 2, \dots, m}）が存在するとします。各消費者は選好關係を持ち、效用最大化行動を行ひます。
2. 初期保有: 各消費者の初期保有量を$ \omega^i \in \mathbb{R}^n($ i = 1, 2, \dots, m) とします。
3. 市場の清算條件: 市場は清算されなければならないため、總供給量と總需要量は等しくなければなりません。總供給量は$ \sum_{i=1}^m \omega^iで、總需要量は價格ベクトル$ p \in \mathbb{R}^n_+のもとでの各消費者の需要ベクトルの和です。
需要函數
消費者$ iの需要函數$ x^i(p)は價格ベクトル$ pに依存する$ \mathbb{R}^nのベクトルです。效用最大化問題を解くことで導出されます。
Arrow-Debreu證券
Arrow-Debreu證券は、特定の財の特定の時點における所有權を表す金融商品です。具體的には、財$ jが時點$ tに存在する所有權は$ (t, j)で表されます。
存在定理の記述
以下の定理は、適切な選好關係と初期保有量の條件のもとで、均衡價格ベクトル$ p^*が存在することを示します。
定理
(Arrow-Debreuモデルにおける均衡價格の存在)
$ N個の消費者の選好關係$ (\succsim^i){i=1}^mが强單調性（strong monotonicity）と局所非飽和性（local nonsatiation）を滿たし、かつ初期保有量$ \omega^iが与えられたとき、市場清算條件を滿たす價格ベクトル$ p^* \in \mathbb{R}^n+が存在する。
證明の槪略
1. 選好の合理性: 選好關係が合理性（transitive and complete）を滿たし、强單調性と局所非飽和性を滿たすことを假定します。
2. 需要の價格への連續性: 選好が合理性を滿たせば、需要函數は價格に對して連續的になります。
3. 市場清算條件: 市場清算條件は$ \sum_{i=1}^m x^i(p) = \sum_{i=1}^m \omega^iです。
數學的表現
價格ベクトル$ p^*は次式を滿たします:
$ \sum_{i=1}^m x^i(p^*) = \sum_{i=1}^m \omega^i
ここで$ x^i(p^*)は價格$ p^*のもとでの消費者$ iの需要ベクトルです。
この定理は、適切な選好と初期保有量のもとで、市場が清算される均衡價格が存在することを示してゐます。
Claude
經濟のプリミティブ
$ L財の商品空閒$ \mathbb{R}^Lを考える。價格ベクトルは單體$ \Delta = { p \in \mathbb{R}^L_+ \mid \sum_{\ell=1}^L p_\ell = 1 }に属するとする。
消費者$ i \in I（有限集合）は、消費集合$ X_i \subseteq \mathbb{R}^L、連續かつ强凸の選好$ \succsim_i、初期保有$ \omega_i \in \mathbb{R}^L_+、および企業$ jへの株式持分$ \theta_{ij} \geq 0（$ \sum_i \theta_{ij} = 1）を持つ。
企業$ j \in J（有限集合）は生產集合$ Y_j \subseteq \mathbb{R}^L（凸・閉、$ 0 \in Y_j）を持ち、利潤$ \pi_j(p) = \sup{ p \cdot y \mid y \in Y_j }を最大化する。
超過需要對應と Walras の法則
價格$ p \in \Deltaに對し、超過需要對應を$ Z(p) = \sum_{i \in I} \xi_i(p) - \sum_{i \in I} \omega_i - \sum_{j \in J} \eta_j(p)と定義する（$ \xi_i(p)：消費者$ iの需要對應、$ \eta_j(p)：企業$ jの供給對應）。
豫算制約から Walras の法則$ p \cdot z = 0 \ \forall z \in Z(p)が成立する。
不動點論法による證明の核心
補助寫像$ \varphi: \Delta \rightrightarrows \Deltaを
$ \varphi(p) = \operatorname{argmax}_{q \in \Delta} \ q \cdot z(p), \quad z(p) \in Z(p)
と定義する。Berge の最大値定理により$ \varphiは上半連續・非空凸値であり、角谷の不動點定理（$ \Deltaはコンパクト凸）を適用すれば $ \exists p^* \in \Delta : p^* \in \varphi(p^*)
が保證される。この$ p^*と Walras の法則を組み合わせると$ Z(p^*) \ni 0が導かれ、市場清算條件が成立する。
主要文献
Arrow, K.J. & Debreu, G. (1954). "Existence of an equilibrium for a competitive economy," Econometrica, 22(3), 265–290.
McKenzie, L.W. (1959). "On the existence of general equilibrium for a competitive market," Econometrica, 27(1), 54–71.
Debreu, G. (1959). Theory of Value. Yale University Press.
ChatGPT
一般均衡理論に於ける Kenneth Arrow と Gérard Debreu によるArrow-Debreu 模型の均衡價格存在定理は、通常つぎのやうに形式的に述べられます。 ⸻
經濟
財の集合を$ L=\{1,\dots ,\ell\}消費者の集合を$ I=\{1,\dots ,n\}企業の集合を$ J=\{1,\dots ,m\}とする。
⸻
消費者
各消費者$ i\in Iは
消費集合$ X_i \subset \mathbb{R}^{\ell}
選好關係$ \succeq_i
初期賦存$ \omega_i \in \mathbb{R}^{\ell}_+
企業持分$ \theta_{ij}\ge0,\quad \sum_{i=1}^n\theta_{ij}=1
を持つ。
⸻
企業
各企業$ j\in Jは生產集合$ Y_j \subset \mathbb{R}^{\ell}を持つ。
⸻
競爭均衡の定義
價格ベクトル$ p \in \mathbb{R}^{\ell}_+
消費計劃$ x_i \in X_i
生產計劃$ y_j \in Y_j
の組$ (p,(x_i)_{i\in I},(y_j)_{j\in J})が 競爭均衡（Walras equilibrium）であるとは
(1) 消費者最適化
各$ iについて$ x_i \in \arg\max_{x\in X_i} \{\; x \mid p\cdot x \le p\cdot \omega_i + \sum_{j=1}^m \theta_{ij} p\cdot y_j \}
⸻
(2) 企業利潤最大化
各$ jについて$ y_j \in \arg\max_{y\in Y_j} p\cdot y
⸻
(3) 市場清算
$ \sum_{i=1}^n x_i = \sum_{i=1}^n \omega_i + \sum_{j=1}^m y_j
⸻
Arrow–Debreu 存在定理
つぎの假定をおく。
消費集合$ X_i \subset \mathbb{R}^\ellは
非空
閉
凸
⸻
選好$ \succeq_iは
完備
反射的
推移的
連續
局所非飽和
⸻
生產集合$ Y_jは
非空
閉
凸
⸻
初期賦存$ \sum_{i=1}^n \omega_i \gg 0
⸻
定理
以上の假定のもとで$ \exists (p,(x_i),(y_j))such that$ p\in\mathbb{R}^\ell_+\setminus\{0\}であり、$ (p,(x_i),(y_j))は 競爭均衡である。
⸻
備考（證明の基本構造）
證明は通常
1. excess demand function
2. Walras law
3. Kakutani fixed-point theorem
を用ゐて行はれます。
⸻
必要であれば次も說明できます。
Arrow–Debreu existence theorem の完全な證明
excess demand function の構成
McKenzie 版存在定理
（一般均衡理論の核心部分なので、證明はかなり美しい構造をしてゐます。）